Rn的拓扑

度量、范数和内积

作为欧式空间的

• 作为集合:
• 作为(实)线性空间:
• 作为欧式空间:
• 欧氏范数与欧氏度量:

欧氏范数与欧氏度量的性质

欧氏范数具有如下性质: - 正定性: - 齐次性: - 三角不等式:

欧氏度量具有如下性质: - 正定性: - 对称性: - 三角不等式:

一般度量空间和赋范空间的定义

• 一个度量空间是指一个集合 和它上面的一个满足正定性、对称性和三角不等式的二元函数 这个 叫做度量空间 的度量(metric).

• 一个(实)赋范空间是指一个(实)线性空间 和它上面的一个满足正定性、齐次性和三角不等式的一元函数 这个叫做赋范空间 的范数(norm) 。

度量与范数的关系

• 设 是一个(实)内积空间,那么 定义了 上的一个范数,它叫做由内积 诱导的范数。它还满足如下平行四边形法则:
• 设 是一个(实)赋范空间。如果 满足平行四边形法则,那么 定义了 N 上的一个内积。

上的其它范数

• (曼哈顿范数): 叫做计程车范数或者曼哈顿范数,用于统计、压缩感知等领域。
• (p-范数):可定义 特别地,即曼哈顿范数,即欧氏范数。
• (无穷范数): 叫做一致范数或无穷范数,这个名字是因为。在重积分换元法的严格证明中必须要用到此范数。

其它空间上的范数

• 矩阵范数:设 是 阶实矩阵构成的线性空间,在 上可定义如下范数:
• 函数空间上的 p-范数

范数的等价性

• 设 是一个(实)线性空间, 上的两个范数 和 称为是等价的,如果存在正实数 使得对于任意的 ,有
• 定理:设 是一个有限维(实)线性空间,则 上任意两个范数都等价。
• 为什么要研究 上的非欧范数
  • 非欧范数是有用且必要的(统计、压缩感知、重积分换元法、矩阵分析等) ;
  • 非欧范数与欧氏范数定义出同样的拓扑(见下文) ,因此欧氏范数不具有特殊性;
  • 很多定义、定理并不依赖范数是否满足平行四边形法则,所以对所有范数都成立;
  • 便于推广到函数空间

的拓扑：基本概念

开集

• 定义:对于 ,定义 的(开)-邻域为 。
• 的子集 叫开集,如果对于任意的 ,存在 ,使得 。
• 例
  • 和 都是开集;
  • 是开集;
  • 设 ,则 是开集;
  • 若 的每个元素都是开集,则也是开集;
  • 若 是开集,则 也是开集。

拓扑

• 定义:设 是一个集合,。若 满足如下三个条件:
  • 则称 定义了 上的一个拓扑。 称为拓扑空间, 的元素叫做 的开集。
• 上按不同范数诱导的距离所定义的拓扑是一样的。

子空间拓扑

• 设 是 的一个子集, 的子集 叫做 中的开集,如果存在 的开集 ,使得 。
• 设 是 的一个子集,记 中的开集的全体为 ,则 是一个拓扑空间。
• 例
  • 考虑 ,则 是 中的开集,因为 。
  • (环面无理流)设 ,考虑 当 时,它是一条光滑曲线,与单位圆具有相同的拓扑;当 时,它的子空间拓扑会变得非常复杂。

闭集

• 定义:的子集 叫闭集,如果它的补集 是开集。
• 例
  • 和 都是闭集;
  • 是闭集;
  • 是闭集;
  • 设 ,则 是闭集;
  • 若 的每个元素都是闭集,则也是闭集;
  • 若 是闭集,则 也是闭集。
• 注: (集合不是门):的子集可以既不是开的也不是闭的,比如;或者既是开的又是闭的,比如 。

内点、外点、边界点、聚点

设 是的一个子集。

• 叫做 E 的内点,如果存在 使得 ; 的全体内点构成的集合叫做 的内部,记为 ;

• 叫做 的外点,如果它是 的内点; 的全体外点构成的集合叫做 的外部,记为 ;

• 叫做 的边界点,如果它既不是内点也不是外点;一种等价的定义是,对任意的, 和 都非空; 的全体边界点构成的集合叫做 的边界,记为 ;

• 叫做 E 的聚点(或极限点) ,如果对任意的 都包含无穷多个点;一种等价的定义是,对任意的 都非空,其中 ; 的全体聚点构成的集合叫做 的导集,记为 ;

• 叫做 的孤立点,如果存在 使得 ; 的全体孤立点构成的集合叫做 的孤立点集,记为 ;

• 的闭包 定义为包含 的最小闭集; 或包含 的所有闭集之交; 或 ; 或 E ∪ ∂E; 或 。

一些例子

• 和 的边界都是 ;

• 的闭包是 ; 既没有内点也没有外点;

• 的边界、导集和闭包都是它自己;

• 若 ,则 ;若 ,则 ;

• 和 都是开集;

• 和 都是闭集;

• ;;

• 是开集当且仅当 ;

• 是闭集当且仅当 ;

• 若 ,则 ,这样的 叫离散集,如 、 等。

的拓扑：紧性与连通性

紧性

定义:覆盖

• 设 ,若有 ,使得 ,则称 是 的一个覆盖;
• 设 是 的一个覆盖,如果 中的元素都是 中的开集,则称其为开覆盖;
• 设 是 的两个覆盖,如果 ,则称 是 的子覆盖;
• 设 是 的一个覆盖,若 是有限(或可数)的,则称其为有限(或可数)覆盖。

定理（Lindelof 引理）:

设 、是 的一个开覆盖,则存在 的可数子覆盖。

定义:紧致的

• 设 ,若 的任意开覆盖都存在有限子覆盖,则称 是紧致的。

紧性判据

• 定理：中的子集 是紧的当且仅当它有界闭。

紧集套定理

• 定义：设 是有界集, 的直径定义为 。

• 定理 (紧集套定理)：设 是 中的非空紧集套,则非空;若 ,则只包含一个点。

聚点定理

• 定义：设 ,若对于 K 的任意无穷子集 非空,则称 是聚点紧的。
• 定理：设 ,则 紧当且仅当 聚点紧(⇒ 聚点紧当且仅当有界闭) 。

连通性

• 定义：设 ,若 不能写成两个 中非空开集的不交并,则称 是连通的。
• 引理
  • E 不连通 存在 中的开集 和,使得 、 非空、不交,且有;
  • 连通 中既开又闭的子集只有 和 ;
  • 不连通 存在 的不交非空子集 和 ,使得 ,且 ;
  • 连通 对于任意 的不交非空子集 和 ,如果 E = A ∪ B,则 ′至少有一个非空;

道路连通性

• 定义：设 ,若对于任意的 ,存在一条连续曲线 使得 ,则称 是道路连通的。
• 定理：若 道路连通,则 连通。

区域

• 定义：中的连通开集叫区域。
• 引理：区域总是道路连通的。